A vueltas con el atractor de Lorenz

Ayer fue un día completo. Pasé un día de vacaciones con toda la gente (excepto dos personas) antes de que se fueran del pueblo a celebrar las fiestas de Navidad en lugares mejores, mejoré ligeramente pBot (un pequeño robot de IRC en el que llevo trabajando desde hace tiempo), y hasta me dio por jugar con las matemáticas.

Sí. Me gustan las matemáticas, lo admito, soy adicto. Pero… ains… son tan perfectas y a la vez sorprendentes… Si eres de letras posiblemente encuentres este comentario un tanto extraño. No te preocupes, tienes razón, es extraño.

Aviso: Lo que viene a continuación es parrafada matemática. Si no eres un verdadero apasionado del tema, es mejor que pases de las siguientes líneas y te limites a ver las imágenes de los resultados. No es por nada, pero es que estamos en Navidad, se supone que durante estas fechas hay que descansar; y no sería plan volverse loco con unas extrañas teorías de un campo que ni siquiera te gusta.

Últimamente me he interesado por lo que se conoce en matemáticas por el nombre de Teoría del Caos, una cosa que me apasiona porque «se sale» de lo habitual con lo que suelo trabajar en clase: predecibles, estables y aburridas curvas en contraposición con estos sistemas de resultados inesperados. A más de uno le habrá venido la palabra «fractal», pero éste no es más que un tipo de sistema caótico de los muchos que hay (es decir, un sistema que después de darle «muchas vueltas» no parece seguir un comportamiento estable, sigue dando resultados intuitivamente impredecibles comparados con los valores obtenidos anteriormente).

Puesto que en su tiempo estuve representando fractales hasta la extenuación y jugueteando hasta obtener resultados más o menos interesantes, intenté cambiar de sistema. Y uno que me llamó la atención fue el Atractor de Lorenz: Un «atractor extraño», que después de muchísimas vueltas sigue girando alrededor de dos ejes imaginarios tridimensionales, aunque de manera impredecible. La línea de la trayectoria tiene una longitud infinita, se desenvuelve en un espacio tridimensional definido y nunca se corta.
Este sistema se define con un sistema de ecuaciones diferenciales asombrosamente sencillo, y cuya representación tampoco tiene mayor complicación:

dx/dt = δ(y – x)
dy/dt = Rx – y – xz
dz/dt = xy – bz

Si tenemos poca idea de ecuaciones diferenciales… tranquilidad, es más sencillo de lo que aparenta.

En el sistema; x, y, z son las coordenadas tridimensionales, dx, dy y dz son las diferenciales de la trayectoria del atractor, dt es la diferencial del tiempo (la unidad elemental de incremento de tiempo, vamos, cuanto más cerca de cero, más preciso será); y δ, R y b son tres constantes conocidas como número de Prandtl, número de Rayleigh y «tamaño» (a esta última constante, que representa el «tamaño de la caja» donde se desenvuelve este atractor, no le he encontrado una traducción mejor). Hemos de tener en cuenta que el personaje que desarrolló esta ecuación, Edward Lorenz, era un metereólogo; y que intentaba aplicarla a ese campo de la ciencia.

Después de mucho investigar a lo largo y ancho de la red, encuentro una página que me dice cuáles son los valores que esas constantes pueden tomar para que los resultados sean interesantes. Los resultados serán más o menos pintorescos cuando:

b ∈ [8/3, 4]
δ ∈ [10, 16]
R ∈ (0, +∞)

Una cosa que no dicen (o al menos que no he alcanzado a leer) es que hemos de partir de unas coordenadas de x, y, z no nulas. ¿Por qué? Si le echamos un vistazo de nuevo al sistema vemos que si sustituimos todas las coordenadas por cero, las diferenciales nos quedan nulas. Y si no me fallan los cálculos, 0 + 0 = 0. Normalmente suelo poner las coordenadas (10, 10, 10), aunque he probado partiendo de (0.1, 0.1, 0.1) y los resultados son los mismos.
Tenemos x₀, y₀, z₀, tenemos las derivadas en cada eje. ¿Cómo representamos esto?

Existe un método matemático para obtener la gráfica a partir de unas coordenadas iniciales y las derivadas, el método de Euler. Pues bien, tenemos todo lo necesario para empezar a obtener coordenadas. Tendremos que despejar las diferenciales de x, y, z; quedando la diferencial del tiempo, siempre constante, multiplicando la expresión de cada derivada. Y a partir de ahí, podríamos hacer una pequeña rutina en BASIC encargada de dibujar el famoso atractor:

WHILE (1)
dx = delta * (y - x) * dt
dy = (R * x - y - x * z) * dt
dz = (x * y - b * z) * dt

x = x + dx
y = y + dy
z = z + dz
PSET (x * 10 + 320, y * 10 + 240)
WEND

He colgado el código fuente en http://usuarios.lycos.es/haberweb/lorenz.bas, y el programa compilado en http://usuarios.lycos.es/haberweb/lorenz.exe (Sí, son programas para MS-DOS, es lo que tiene que use Linux. Sólo tengo dosemu para jugar con estas cosas).

He adjuntado a mayores un pantallazo de los resultados del programa. Desde luego, es más divertido andar cambiando las tres constantes, y comprobar en qué cambian los resultados. El programa sólo muestra la figura tridimensionar desde el plano (x, y). Lo interesante sería verlo en perspectiva, pero me es mucho más fácil verlo perpendicular a cada plano. Soy así de vago. Y los resultados vienen siendo los mismos 😀

En resumen, aplicaciones fuera de la vida corriente: Muchas (Se dio el caso de una estudiante de ingeniería electrónica que usó este sistema para realizar variaciones en composiciones de música clásica. Obviamente los resultados, comprobados por músicos medianamente profesionales, fueron satisfactorios). Utilidad para mí o cualquier estudiante de 2º de Bachillerato: Ninguna. Simplemente, un día me interesó eso, ver que algo tan simple dea resultados tan dispares. Experimentar con los valores obtenidos puede ser igualmente divertido. Quizá se me ocurra alguna otra aplicación curiosa de este atractor.
Es una forma de jugar con las matemáticas, generando dibujos automáticamente y luego ponerle títulos según los valores de las constantes. También es cultura general. El saber no ocupa lugar, ¿no?

Post Scriptum: Ahora que me doy cuenta… qué impresión me causa que el primer post que escribo seriamente en este Blog sea sobre matemáticas y teoría del caos. A ver si hago esto un poco más mundano con el paso del tiempo.

Saludos