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Relatividad especial: un enfoque gráfico

8 \08UTC septiembre \08UTC 2009

Aviso: este post, efectivamente, está mal. La deducción de la transformación de Lorentz es correcta, pero la cosa cambia cuando hablamos de aceleraciones. Acelerar implica rotar en un espacio que NO ES EUCLÍDEO. Por tanto, ignorad la parte a partir de “Fin de la demostración matemática”. Haré otro post cuando tenga tiempo (jajaja) y ganas. Tengo un código en C hecho y todo, fíjate tú.

¡Hacía tiempo que no actualizaba! Ya era hora, oigan. ¿Y qué mejor forma de retomar el blog que con un contundente post sobre ciencias?

Normalmente las demostraciones matemáticas me suelen gustar. Se me suele llenar el alma cuando empiezo a relacionar conceptos muy básicos entre sí, pero si no tengo esos conceptos bien interiorizados, si no soy capaz de hacerlos encajar intuitivamente siento que gran parte de esa demostración no ha servido de nada. Con mi anterior entrada acerca de la relatividad especial me ha pasado lo mismo, no me sentí nada a gusto. Sobre todo con el tema de la paradoja de los gemelos. Así que en mis momentos libres seguí cavilando alguna forma ejemplar de explicarla, pero al final acababa en integrales apenas resolubles sin métodos numéricos y muy poca satisfacción personal.

El caso es que hace unos días, antes de irme a la cama, se me pasó por la cabeza cierto modelo espaciotemporal donde entran en juego unas cositas llamadas líneas de universo. La cosa es que no sé cómo, me dio el volunto de imaginarme la situación de dos objetos en marcos de referencia diferentes (que uno se movía respecto al otro, qué leches) y accidentalmente acabé demostrando la transformada de Lorentz en medio de la oscuridad con los dedos en la pared de mi habitación. Resulta que estaba viendo gráficamente la dilación del tiempo de una forma que cualquiera podía entender. Confirmé mi teoría en Wikipedia (aún estoy esperando confirmación por alguien que estudie física de verdad) y aunque hay partes de las que no estoy tan seguro, voy a mencionarlas porque son cuanto menos orientativas.

Pero vamos a empezar desde el principio. ¿Qué es una línea de universo?

Supongamos que vamos a «encartar» nuestro espacio tridimensional en dos dimensiones nada más, y dejando el tiempo perpendicular a esas dos dimensiones. Quedará todo como una pila de diapositivas, los sucesos más antiguos estarán en las zonas más bajas de la pila y los sucesos más recientes en las zonas más altas. A medida que avanzamos en el tiempo, vamos añadiendo una diapositiva más, y esta pila seguirá creciendo hacia arriba durante toda una teórica eternidad. Cada diapositiva será distinta, y un suceso, objeto o cualquier cosa tendrá una posición concreta en cada diapositiva (correspondiente con la posición que ocupa en el espacio). Si ese objeto se mueve respecto a nosotros, en cada diapositiva tendrá una posición ligeramente diferente. Cuanto más rápido se mueva ese objeto, la diferencia de posición entre diapositivas será mayor. Como una película, vaya.

Para dejar todo más o menos en las mismas unidades, vamos a poner el eje temporal en segundos y el eje espacial en Chuck Norris. Chuck Norris es una medida que me acabo de sacar de la manga. Equivale al espacio que recorre la luz en un segundo. De hecho, esto tiene nombre y se llama “segundo-luz”. Pero como no me gustaría crear más confusión de la que puedo causar y mezclar tiempo con espacio, he decidido darle un nombre totalmente nuevo. Quedaos con que un Chuck Norris es cerca de 300.000 kilómetros (tiene sentido, si la luz viaja a 300.000 kilómetros por segundo, en un segundo recorre 300.000 kilómetros). Lo llamo Chuck Norris porque es muy bestia y grande.

Fijaos que esta equivalencia no es caprichosa. La relación entre espacio y tiempo es muy grande, y es que en un sólo segundo pueden pasar muchas cosas.

Pues bien. La línea de universo de un objeto es la línea imaginaria que une todos los puntos del objeto en las diapositivas. Ni más ni menos que la trayectoria que sigue a medida que se dirige inexorablemente hacia el futuro.

¿Cómo nos veremos nosotros en las diapositivas? Para empezar, desde nuestro punto de vista (nuestro marco de referencia) no nos movemos. Estamos quietos en nuestra nube azul, y por lo tanto en cada diapositiva nuestra posición seguirá siendo la misma. Avanzamos “en el sentido del tiempo”, en forma de una línea vertical paralela al eje temporal:

Como cabe esperar, una persona que esté en nuestro mismo marco de referencia (que desde nuestro punto de vista no se mueva) seguirá una trayectoria de idéntica dirección. Puede estar a varios miles de kilómetros, pero el hecho de estar quieto respecto a nosotros no se lo quita nadie:

Y es aquí cuando empecé a imaginarme escenarios interesantes. ¿Qué pasa cuando esa otra persona se mueve? Es lógico pensar que la trayectoria de avance (suponiendo que no haya aceleraciones) será inclinada, ya que a medida que “sube en el tiempo” su posición va cambiando progresivamente:

Y es aquí cuando se me encendió la bombilla. ¿No se ve esa segunda flecha menos alta que la otra? Recordemos que aquí, “altura” es sinónimo de tiempo. Sé perfectamente que es porque desde mi ángulo, la otra la veo oblícua, todo depende del… ¡observador! Desde el punto de vista del otro fulano, mi flecha, mi dirección de avance también se vería inclinada. ¡También vería mi “altura” (mi tiempo) más pequeña!

Pero es entonces cuando me asalta la duda. ¿Y no puede ser que ambas trayectorias alcancen tiempos o alturas iguales? Y fue algo que rápidamente descarté, porque para que eso sucediese, la otra trayectoria tendría que ser más rápida (ya que está haciendo un avance en diagonal). ¿Qué tiene la otra persona que no tenga yo? ¿Por qué su línea de universo ha de ser más rápida? ¿Y qué pasa desde su punto de vista? Esto rompe uno de los principios de la relatividad -que no hay marcos de referencia privilegiados- y por ello me asaltaron otras preguntas.

¿A qué velocidad avanzamos en el tiempo? Ya lo sé, es obvio, a un segundo por segundo . Pero, ¿hay alguna forma de dejarlo todo en las mismas unidades en este bonito esquema? ¿Qué pasa si multiplico el tiempo por la velocidad de la luz (la cual sé que es constante, y hace que el tiempo se exprese como c x t) para que el tiempo se pueda medir en metros? Está claro que ahora un segundo serían 300.000 kilómetros (exactamente 1 Chuck Norris). Anda, como la unidad del eje espacial. Todo está proporcionado, todo encaja.

Entonces, vamos a ver, he hecho un cambio de unidades un poco estúpido. Me queda que el tiempo se expresa por c·t. Entonces el tiempo avanza a una velocidad c. ¡A la velocidad de la luz!

¿No se me habrá ido mucho la olla? Echemos un vistazo a la Wikipedia. Efectivamente, y cito:

La no existencia de un tiempo absoluto, requería que existiera una medida de tiempo para cada observador. Así el conjunto de eventos (puntos del espacio-tiempo) llevaban de manera natural a definir vectores de cuatro dimensiones:

Donde las cuatro componentes anteriores representaban el instante en que sucedía algo y las tres coordenadas espaciales donde ocurrían y c es simplemente la velocidad de la luz (introducida aquí por conveniencia, para que todas las coordenadas tengan dimensiones de longitud). Los experimentos mostraban que cuando diversos observadores se ponían a medir sus respectivas coordenadas para el evento obtenían números diferentes pero éstos guardaban entre sí cierta relación dadas por unas ecuaciones que más tarde se llamaron transformaciones de Lorentz.

Bien, bien, voy por buen camino. Pero no tengo claro eso de la velocidad. ¿Es verdad que siempre nos movemos a la misma velocidad? ¿Que su módulo es c? Vuelta a Wikipedia:

La cuadrivelocidad es una magnitud vectorial asociada al movimiento de una partícula, usada en el contexto de la teoría de la relatividad, que es tangente a la trayectoria de dicha partícula a través del espacio-tiempo cuatridimiensional. […]

Es importante notar que el “módulo” de dicha velocidad, es constante debido a que:

No os preocupéis por esa expresión que yo tampoco entiendo. Lo importante es el resultado. El caso es que la “velocidad” por la que nos movemos por el espacio tiempo es siempre constante (es c). Todas las líneas se mueven siempre con la misma velocidad de avance. Esto ya nos da un puto de partida. Ya podemos hacer medidas.

Supongamos entonces el siguiente escenario. Un fulano se mueve muy rápido desde nuestro relativo estatismo. Recorremos dos segundos en nuestra dirección temporal, mientras medimos el tiempo del otro individuo en nuestros dos segundos. La línea azul es la parte de la trayectoria que hemos medido, y el rombo negro el que marca el “límite” (o el presente, según lo interpretes). Nuestro esquema queda algo parecido a esto:

Es entonces cuando vemos que la línea verde (que es la que usamos para medir el tiempo con nuestro reloj) nos alcanza bajo nuestro presente (o sea, en nuestro pasado). Eso quiere decir que el reloj se ve atrasado. ¡Dilación temporal! Esto es una nueva perspectiva: resulta que los efectos de dilación temporal / contracción de longitudes tienen que ver con una percepción oblicua de una trayectoria en un marco de referencia que no comparto. Está inclinado respecto a mí, no comparte mi dirección, no comparte mi marco de referencia. Además, resulta que todo se mueve en un espacio tetradimensional con un sentido de avance en el tiempo siempre positivo y con la misma velocidad. Sí, todo se mueve a una velocidad constante (a c), sólo que obviamos el tiempo y normalmente medimos los cambios de magnitud de tres de esas cuatro componentes espaciotemporales.

Sí, esto es muy bonito. Pero aún así no me fié. ¿Mi apreciación es correcta? Al día siguiente no pude esperar, saqué lápiz y papel y me puse a intentar deducir la transformada de Lorentz de este modelo.

Aviso – Demostración matemática – Si odias los números confía en mí y quédate con que funciona
Considerando movimientos rectilíneos y uniformes, o primero que hice fue expresar el tiempo como una magnitud espacial más. Esto es bueno porque si voy a considerar que nos movemos por un espacio de cuatro dimensiones, es mejor dejarlo todo en metros y trabajar con el tiempo como si fuese una longitud más, que voy a denominar “u”:

Por lo tanto, una posición cualquiera en el espacio y en el tiempo vendrá dada por un vector de cuatro dimensiones (un cuadrivector) tal que así:

Si se da el caso de que queremos denotar algo que comparta nuestro marco de referencia (como nosotros mismos) tendremos que expresar en el cuadrivector su variación continua en el tiempo y su estado de reposo en el espacio. Esto se hará manteniendo constantes las componentes espaciales y dejando la componente temporal en función de t.

Cualquier cosa que no esté en nuestro marco de referencia quiere decir que se está moviendo. Esto se expresa como que todas sus componentes (sí, la temporal también, cómo no) experimentan una variación respecto de nuestro tiempo:

Pero, ¿qué relación hay entre los cuadrivectores de un punto en movimiento y un punto en reposo? Que ambos se mueven a una velocidad constante en un espacio cuadridimensional. Es decir, que si para nosotros la velocidad de avance viene dada por:

(de cuyo módulo se deduce rápidamente que es c), el módulo de la cuadrivelocidad del otro objeto ha de ser también c.

Pongámonos entonces de nuevo en el caso del punto en movimiento. Su cuadrivelocidad vendrá dada por:

Y para que se cumpla la hipótesis del módulo de la velocidad constante:

Podemos operar un poco y dejar la variación temporal en función de las variaciones espaciales:

Así nos queda que una medida de tiempo sobre ese punto (delta de u’) queda relacionada con el nuestro (delta de t) mediante esa velocidad temporal. Ese factor nos dirá en qué proporción nuestro tiempo avanza más rápido que el del otro:

Así, si despejamos un poco, una medida de tiempo en ellos se relacionará con el tiempo que medimos sobre nosotros a través de:

Lo cual no es ni más ni menos que la transformada de Lorentz extendida a varias dimensiones. ¡Bien! Al menos sé que el modelo funciona matemáticamente con movimientos rectilíneos y uniformes.

Fin de la demostración matemática

Bueno, y ahora lo que viene aquí ya es pura especulación. Al parecer cuando hay aceleraciones el espacio y el tiempo se deforma de una manera muy extraña que no entiendo bien. Pero aún así, parece que sirve para hacernos una idea de lo que sucede en la paradoja de los gemelos.

En la paradoja de los gemelos, al principio ambos están en reposo. Entonces uno viaja a una velocidad muy alta y finalmente vuelve. La trayectoria a seguir es esta:

Ahora bien, si nos fijamos, el gemelo viajero es el que “más espacio recorre”. Mientras que el que se queda en Tierra sencillamente avanza hacia adelante en el tiempo, el otro toma un bucle donde avanza, para, y vuelve a la Tierra. Parece lógico pensar que si la cuadrivelocidad es constante, debido a que el gemelo viajero hace más virguerías por el espacio-tiempo, cuando vuelva se dará cuenta de que el tiempo que él invirtió en viajar el otro gemelo invirtió en envejecer:

Como se puede ver, el reloj del gemelo viajero llega a estar desfasado respecto al del gemelo en Tierra. Sin embargo, como dije antes, de esto ya no estoy tan seguro, y hasta que no me documente más no podré decir qué parte de esto es correcto y qué parte no.

Aún así, aparecen detalles muy curiosos. Desde nuestro punto de vista, para la luz no debe pasar nunca el tiempo, ya que toda su velocidad (c) se invierte en desplazarse por el espacio, no dejando nada al tiempo. Pero entonces, ¿no se vería oblícua la luz desde otro observador? Esos ya son detalles que se me escapan, pero que vaya, yo sigo aquí dándole vueltas. Que alguna razón tiene que haber.

Por cierto, y vuelvo a decir lo de siempre: No soy físico. Y me gustaría que alguien me dijese en qué meto la pata y en qué no. Sería muy desagradable que pasase años creyéndome este modelo para descubrir que finalmente no cuadra. O que cuadra a medias, lo cual es peor.

8 comentarios

  1. Al final lo hiciste si señor, muy completo tiote xD


  2. Pues yo no he entendido absolutamente nada (ji


  3. La droga es la verdadera salud


  4. Genial tio, llevas mucho tiempo sin tocar esto pero llegas pisando fuerte.

    Se lo voy a pasar a un colega que es fisico, a ver si te puede corregir o aclarar algo (:


  5. Muy claras las explicaciones y las demostraciones.


  6. Gracias por hacerme sentir inteligente
    (Lo he entendido todo! Yuhu!)


  7. Está perfecto, para no ser físico, como dices al final, es impresionante, está muy bien explicado.

    Realmente cuando a uno le presentan estas ecuaciones en el instituto, no puedes preguntar el por qué, hay que entender que la mitad de los alumnos de la clase no ENTIENDEN el concepto de derivada, por ejemplo, como para intentar explicar esto. Aún así pienso que los profesores deberían intentar tener más afan de enseñar, e intentar hacer que los alumnos se enamoren de su disciplina, por la belleza de esta.

    Más de uno daría mucho por tenerte de profesor😉


  8. sugoii!
    quiero abrazar a tu cerebro ^^



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