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El área del Triángulo de Sierpinski

12 \12UTC enero \12UTC 2009

Y volvemos al tema de siempre: fractales. Oh, sí, fractales. ¿Por qué no me cansaré nunca de este tema? Ah, ya lo recuerdo, porque siempre hay alguna extraña propiedad de la que puedo hablar con alguien y maravillarme de lo bonitas que son las matemáticas.

Pues hoy, señoras y señores, voy a meterme con el famoso triángulo de Sierpinski. ¡Quién no conoce este bonito triángulo! Es uno de los fractales más típicos, usados sobre todo para ilustrar las propiedades comunes a todos ellos. Dimensión fraccionaria, autosemejanza, tal y pascual.

El fractal de Sierpinski se puede construir tomando un triángulo cualquiera, eliminando el triángulo central uniendo los puntos medios de cada lado, y repitiendo hasta el infinito el proceso en los tres triángulos restantes como el primero:


¿Qué tiene de especial esto? Que el área de este triángulo es cero. Es decir, es un objeto matemático sin superficie alguna (de hecho, ni siquiera tiene suficientes dimensiones como para poder alojar una superficie, pero eso ya es otra historia). Y esta extraña propiedad es lo que pretendo explicar en esta entrada.

Bien, vamos allá. Para medir la superficie de este objeto, tenemos que ir construyéndolo poco a poco. Vamos a ver cuánto mide cuando quitamos el triángulo central, cuando quitamos el central de los otros, etcétera, etcétera. Más que nada, por si encontramos algún patrón general que nos permita calcular la superficie con cualquier número de iteraciones.

Primer paso:

Para hacerlo más simple, vamos a contar triángulos y cuánto ocupan. Suponiendo que eso sean tres triángulos equiláteros de lado “l”, podremos derivar rápidamente el área de los mismos. Como todos sabemos, el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. Y en un triángulo equilátero tiene la siguiente altura:

Entonces, el área del triángulo sólo depende de su lado. Así pues:

En nuestro caso, tenemos tres triángulos de lado “l”. Entonces la expresión se nos transforma en lo siguiente:

Hasta ahí bien. Pasemos a la siguiente iteración, cortando los triángulos de los extremos. En este caso, el lado de nuestros triángulos se reduce a la mitad (como hemos dicho antes, en este fractal vamos partiendo por el punto medio), sin embargo, el número de ellos se multiplicará por tres respecto al paso anterior (ya que al quitar uno del centro aparecen tres más):

Teniendo en cuenta lo de que el lado se reduce a la mitad y que el número de triángulos se triplica, superficie en este instante me da esto (la dejo indicada para ver lo que va cambiando en la expresión más fácilmente):

¿No vemos por dónde van los tiros todavía? Démosle una vuelta más, tercera iteración:

De nuevo, el lado será la mitad de la vez anterior (la mitad de la mitad, entonces) y el número de triángulos se habrá vuelto a multiplicar por tres:

Ahora sí, ¿verdad? Vemos un par de exponentes que se van incrementando en cada iteración. Uno de ellos de uno en uno, y el otro de dos en dos. Entonces ahora podemos definir una función superficie de Sierpinski, que nos permita calcular el área del triángulo según el número de iteraciones aplicadas. Así es como llegamos a esta expresión, donde “n” es el número de iteraciones y “l” es el lado del triángulo:

Ahora sí que me permito reunir factores, para tener una expresión más compacta.

Bien, lo maravilloso de esto es que ya podemos jugar para calcular la superficie. Como en teoría, el triángulo de Sierpinski tiene infinitas iteraciones, tendremos infinitas divisiones, blablabla y no nos queda más remedio que echar mano de nuestros queridos límites. ¿Qué le ocurre a nuestra función de superficie cuando las iteraciones parecen no acabar (cuando “n” tiende a infinito)? Veamos:

Quieeeeto parao. Tenemos dos funciones exponenciales dividiendo. Para saber qué pasa aquí, tenemos que averiguar cuál de las dos “crece” más rápido. Si resulta ser la de arriba, el triángulo de Sierpinski tendría una superficie infinita (cosa que sabemos que es imposible porque hemos estado quitando cosas). Sin embargo, si es la de abajo la que supera a la de arriba, entonces habrá un momento en el que el divisor será tan grande que apenas será apreciable, y nuestro triángulo no ocupará superficie alguna. Sigamos adelante, pues.

Ahora el problema es este. A ojo no podemos saber cuál de las dos crece más. Para ello tendremos que hacer que nuestras dos exponenciales compartan la misma base y comparar los exponentes. Esta expresión puede transformarse dejando todo en base “e” (pues porque me gusta, pero podría ser cualquier otra) y dejando los exponentes encerrados en sendos logaritmos neperianos:

Logaritmos que quedan multiplicando a “n” en las dos expresiones, sólo tenemos que compararlos y saldremos de esta incertidumbre vital. Esta parte… bueno, hay que hacerla por calculadora porque no me sé el logaritmo neperiano ni de dos ni de tres, pero vamos, sin problema. Para eso ya están las calculadoras:

¡El logaritmo que multiplica a la “n” del denominador es mayor que el del numerador! Entonces, eso quiere decir ni más ni menos que:

O sea, nuestro triángulo no tiene superficie. Es más bien una nube de puntos inconexos formando un extraño patrón de triángulos. Para quien lo quiera saber, la dimensión real de esta figura es ln (3) / ln (2) -no tengo ganas de explicar ahora el por qué, he escrito este post mientras me comía un platito de esos de la Gula del Norte- pero como ya mencioné antes, decir que ese número (que es poco superior a uno) no es suficiente para alojar figuras planas.

Que los fractales son muy chupis y que no me canso de hablar sobre ellos. Mientras haya fractales en el mundo de las matemáticas, habrá entradas dedicados a ellos en este blog.

Bueno, pero si me canso ya no.

Anexo: Demostración de la validez de la expresión de la superficie
Ante la queja de drjackZon y puesto que a mis ojos esa derivación de la expresión del área en cada iteración es demasiado… “intuitiva”, he decidido demostrarla por inducción simple. Para ello tenemos que tener en cuenta que en cada iteración, quitamos el triángulo central de los que quedan, y la superficie se queda reducida a tres cuartos de la anterior (esto no queda más remedio que deducirlo analizando el comportamiento de este triángulo en cada paso, lo siento xD). Para hacer inducción tenemos que comprobar el caso base y el paso inductivo:

Lo primero lo hemos demostrado ya arriba (de hecho, hemos calculado el área en el primer paso para ver cómo iba variando la cosa). Lo siguiente no es más que operar:

Ese 3/4 de la derecha puede dejarse expresado como 3/2² (más que nada, para operar con potencias de la misma base). Entonces:

Agrupamos factores y:

Voilà, inducción demostrada, nuestra expresión general queda igualmente demostrada. Esto ya es un poco coñazo, pero al menos calmo a ciertas mentes inquietas.

PD: Desde el año pasado no he hecho un sólo ejercicio de inducción, y mirad que me costaban. Si veis que me falta algo que no es evidente o que he supuesto demasiadas cosas… ya sabéis, los comentarios están ahí abajo xD

19 comentarios

  1. Interesante…
    Sencillamente interesante.

    A quien no le pueden gustar estos triangulos?¿?¿

    Aunque e de afirmar que la primera vez que vi el triangulo de Sierpinski fue al jugar a un juego (The Legend of Zelda Ocarina of the Time, excelente juego)

    Un saludo RJ69


  2. Es muy interesante sí..jaja..maravillado te deja D:


  3. Hola Batch! Hacia tiempo que no me pasaba por aqui!

    WOW! Lo entendi! Lo entendi! (hasta la parte de “Demostración de la validez de la expresión de la superficie”…reconozco que en lo de los límites me lie un poco, pero pille lo esencial, creo XD)

    Sigo sin saber lo que es un fractal, pero este post me ha encantado, mira que es curioso el triangulo este…


    • Un ejemplo de fractal serían los copos de nieve… Osea son como figuras que aunque veas más y más cerca te encontrarás la misma figura repitiéndose infinitamente


  4. muyinteresante la construcion, la demsotracion y hasta llegar allimite.muy bueno,desde chiapas felicitaciones


  5. es un texto genial, gracias, me salvaste la tarea de calculo


  6. buena demostracion entendible, ahora si ya se como resolver mi trabajo de fractales,


  7. wowww! esteee post esta chevere! es lo mejor le daria tres hijos al q lo iso me salvo mi tareaa de nerd


  8. Genial !! Me ha gustado mucho, está muy bien explicado y se entiende perfectamente.

    Felicidades😀


  9. Es mucho más sencillo si consideramos la fracción de superficie en cada triangulo, tendremos la serie 1, 3/4, 9/16, 27/64…. Es decir 3/4 elevado a infinito que evidentemente es 0.


  10. Veo muchos triforce…


  11. desafortunadamente necesito maestro, al principio entiendo, pero no cuando aparecen los dos exponenctes y mucho menos lo demás, pero entiendo con el comentario de 3/4 al cuadrado hacia el infinito.


  12. muchas gracias, me han salvado la tarea, sobretodo Leoncio y santos.


  13. Muy interesante lo del triángulo de Sierpinski, pero permítanme sorprenderme acerca del enorme lío que montan para demostrar que la superficie en la iteración hasta el “infinito” es cero.

    Tras la primera iteración tenemos tres triángulos de entre cuatro, cuyas superficies respecto a la del triángulo inicial(S0)suman:
    S1=S0*(3/4)
    En la segunda iteración:
    S2=S1*(3/4)=s0*(3/4)^2
    En la enésima:
    Sn=S0*(3/4)^n
    Si “n” tiende a infinito “Sn” tiende a cero.

    Me parece que hasta yo me he excedido en demostraciones.


    • Respondiendo a gaizka evidentemente te has escedido,deberias haber leido antes e comentario de Leoncio, mucho mas claro y sencillo que el tuyo.


  14. Bueno la ecuacion matematica tiende a ese resultado(cero), pero el razonamiento no, puesto que a medida que se realizan las iteraciones , el area de triangulo inicial va a tender a ser lo mas pequeño posible, pero nunca cero,como es tan tan pequeño , la suma de todos esos triangulitos tambien tenderan a cero, pero no seran “cero”. es mi modesto razonamiento.saludos


  15. ALGUIEN ME PUEDE DECIR PORQUE CUANDO LA ITERACION ES CERO, ES DECIR CUANDO NO REALIZO NADA, ES UNO. PORQUE SI CONSIDERO AL LADO DEL TRIANGULO EQUILATERO COMO LONGITUD 1, NO SERIA SU AREA IGUAL A RAIZ DE 3 POR UN CUARTO.


  16. ¿Se puede calcular el área del “Tamiz de Apolonio”? Es decir, si tuviéramos un queso de dos dimensiones circular, y le empezamos a cortar trozos circulares de queso tangentes unos a otros pudiendo hacer esto hasta el infinito… al “final” nos quedaríamos sin queso. Por lo que el área debería tender a cero cuando el número de circunferencias tiende a infinito ¿no?


  17. El límite cuando n tiende a infinito es cero, es decir se acerca a cero, pero nunca lo será, el límite es cero, pero nunca llegará a cerlo. El tema de límites me costo el campeonato regional de la olimpiada en matemáticas. y es tan simple.
    Es tan fácil como sacar mitad progresivamente a un número, mientras más mitades saquemos, más se acerca a cero, si infinito fuera un valor, (el último valor) entonces daría cero. Pero no existe ese último valor, así que nunca será cero.



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