Entendiendo la relatividad especial de Einstein

De nuevo, post de matemáticas / física. Oh, sí. Y como siempre, un poco de literatura para que no nos de un shock mental.

Hace bastante tiempo intenté comprender la teoría de la relatividad de Einstein. Lo cierto es que sólo encontré enciclopedias estupendamente ilustradas y escasamente ilustrativas. Veía maravillosos efectos relativistas de lo que ocurre cuando una persona se desplaza a velocidades cercanas a las de la luz, como se encogen, el tiempo va más despacio y todas esas cosas maravillosas. Sin embargo, no entendía «por qué».

Años más tarde descubriría que todo esto se debe a que la velocidad de la luz en cualquier marco de referencia (es decir, nos estemos moviendo en un tren a velocidades peligrosas, o nos encontremos tirados en la playa tomando el sol) es siempre la misma.

Yo ya me imaginaba que para que un principio tan simple funcionase, el resto de dimensiones (espacio y tiempo) tendrían que deformarse de tal modo que la constancia de la velocidad de la luz se mantuviera. Me imaginaba por donde entrarle, pero nunca me paré a pensarlo.

Finalmente, anteayer me hice con un libro del propio Albert Einstein, llamado «Sobre la teoría de la relatividad especial y general», el cual me hizo que buscase más información que no salía en el propio libro y que encontré en otras obras como Física Moderna. Y por fin comprendí (en parte, aún estoy en ello) esas transformaciones que había que hacer, las denominadas Transformaciones de Lorentz.

Lo que de momento sé no es gran cosa, pero puede deducir y explicar los dos fenómenos más sorprendentes de la teoría de la relatividad: La contracción del espacio y la dilatación del tiempo. Y todo ello del gran principio que rige toda esta teoría, que resumiré así para que se entienda mejor: la velocidad de la luz es siempre constante, sin importar nuestra cantidad de movimiento.

1. La dilatación del tiempo
Está claro que los fenómenos relativistas no son ni de lejos algo con lo que estemos familiarizados. Por eso mismo, vamos a tener que forzar un poco las «capacidades físicas» de los inventos humanos para que los ejemplos sean evidentes. De hecho, voy a usar el ejemplo que me hizo comprender lo que ocurre: El tren.

Supongamos que estamos en el vagón de un tren, el cual está viajando a una velocidad bestial. Y con bestial me refiero a miles de kilómetros por segundo. Vamos a dar una cifra, por ejemplo, a 285000 kilómetros por segundo (un 95% de la velocidad de la luz).

Nos habrá costado mucho llegar a tal velocidad, pero qué más da, molamos mucho y estamos tan tranquilos en nuestro tren disfrutando de un viaje relativista por todo lo alto, jakjakjaka.

Dentro del tren, contamos con un montón de juguetitos de físicos la mar de chupis. Entre ellos, un cronómetro muy preciso. Tan preciso que puede contar el tiempo que tarda un pulso de luz en salir de una lámpara, por ejemplo, rebotar contra un espejo y volver. Una lástima que los dibujos no me hayan quedado tan bien, pero bueno, la idea se entiende.

En el dibujo, el pulso de luz (he puesto un láser, porque los lásers quedan más guays y son más de científicos, y que para el caso es lo mismo) parte del suelo, recorre dos metros hacia arriba en línea recta, rebota en el espejo y vuelve a recorrer dos metros en el mismo trayecto hacia el suelo. En total, habrá recorrido cuatro metros a la velocidad de la luz, y esto le habrá llevado:

Trece coma tres y pico nanosegundos. ¿Qué ocurre si vemos el fenómeno desde fuera?

Desde fuera, el pulso de luz ahora no sólo avanzará hacia arriba, si no hacia adelante debido a que el tren se está moviendo en esa dirección. Ya no recorrerá una línea vertical, si no una diagonal un pelín vencida hacia adelante. En este caso, decimos que la velocidad de la luz tiene dos componentes (avanza en vertical y en horizontal, dando como resultado una diagonal), pero lo que cuenta es la velocidad qué tiene en la dirección en la que se propaga. Y como hemos dicho antes:

la velocidad de la luz es siempre constante, sin importar nuestra cantidad de movimiento

El pulso de luz, desde nuestro punto de vista, estará recorriendo una diagonal que, en cualquier caso, es mayor que la vertical. Es decir, va a recorrer más espacio a la misma velocidad (300.000 kilómetros por segundo, esto es lo sorprendente, que nunca varía, la observe quien la observe).

Dibujo cutre para entenderlo:

Aquí es cuando empiezan las cosas raras. Si recorre más espacio a la misma velocidad, entonces le tiene que llevar más tiempo. ¡Tachán! He aquí la dilatación del tiempo: Desde fuera, el tiempo para los cuerpos en movimiento aparenta ir más despacio. En nuestro caso, mediremos 42.7 ns (lo cual ya es una diferencia importante).

¿Cómo podemos calcular tiempos dilatados? Analicemos esto matemáticamente (oh, sí), para saber en qué grado el tiempo del tren aparenta ser más lento:

Desde nuestro punto de vista, en tierra, el rayo de luz va a tardar en ir y volver un tiempo extra, t’ que vamos a denominar tiempo propio. Este tiempo vamos a despejarlo relacionando las únicas magnitudes que conocemos: velocidad y espacio:

Está claro que si el rayo tarda en recorrer t’ las dos diagonales, tardará la mitad en recorrer una sola. Por eso, la longitud de la diagonal será velocidad de la luz por el tiempo que tarda en recorrerla. Así la luz describe casi sin quererlo un triángulo en el espacio por el que viaja. En horizontal, tardará la velocidad del tren por el tiempo que tarda en alcanzar el espejo. Y en vertical, ya tenemos la altura del vagón: dos metros.

Todo esto forma un mítiquérrimo triángulo rectángulo, cuyos lados se pueden relacionar perfectamente por el famosísimo, maravillosísimo, fotogénico, escueto y galardonado con el premio al «mejor teorema de la geometría», «mejor relación entre distancias» y «teorema sencillo del año»: el teorema de Pitágoras:

(¿veis como no era tan difícil? esto se da en la ESO, por favor).

Por tanto, sólo nos queda despejar lo que estamos buscando, el tiempo t’:

Pero si nos fijamos, esa expresión nos es sospechosamente familiar. De hecho, es la misma que la del tiempo dentro del vagón, pero con un término extra multiplicando:

El cual se conoce como Factor de Lorentz, se representa por una gamma minúscula y expresa en qué grado el tiempo se dilata. Este término es de gran importancia en la teoría de la relatividad especial (y como os podéis imaginar, no tiene mayor complicación su cálculo). A medida que nos acercamos a la velocidad de la luz, la relación v²/c² se acerca a uno (siempre por debajo), haciendo que la resta se haga más próxima a cero y la raíz cuadrada haga también lo propio. Tendremos un denominador que se hace más pequeño, por lo que la expresión se hace más grande. El tiempo entonces se hará más grande.

Es más, como consecuencia interesante de esto, voy a permitirme una «relajación matemática» por la que más de uno se me tirará al cuello por no mencionar los límites (bueno, qué narices, los acabo de mencionar, ya se sabe lo que quiero decir). Si viajásemos a la velocidad de la luz (lo cual es imposible), alguien que nos observase alucinaría al ver que el tiempo para nosotros, directamente, se ha parado.

¿Por qué? Aparecería un cero (o algo muy cercano a cero, pero positivo) en el denominador, y la expresión se volvería infinita (perdónperdónperdón, la próxima vez lo haré con límites, lo prometo). Es decir, el tiempo que nos llevaría hacer cualquier cosa sería eso, infinito. Para alguien que nos estuviese mirando, no podríamos movernos por culpa de una lentitud sin fin.

2. Contracción de longitudes
Teniendo en cuenta lo anterior (que desde nuestro punto de vista, el tiempo parece ir más lento dentro del tren que fuera), vamos a ver qué ocurre con las distancias. Supongamos que nuestro tren relativista de BatchDrake Lightway Industries, Co. se dirige en línea recta (no le queda más remedio si no queremos reventar las vías) de el andén «A» hasta el andén «B» a una distancia de, medida por nosotros, es Lp (de Longitud Propia). El tren sigue yendo al 95% de la velocidad de la luz, y medimos con nuestro cronómetro de científicos un lapso de tiempo de poco más de un microsegundo:

Como hemos calculado antes, la relación entre nuestro tiempo (el tiempo propio) y el tiempo dentro del tren viene por el factor de Lorentz, luego si nosotros hemos medido uno y pico microsegundos, ellos deberían haber contado menos:

(Ya que gamma es siempre positivo mayor que uno)

De lo que estamos seguros es de que si nosotros detectamos un movimiento del 95% de la velocidad de la luz, ellos también deben detectar tal movimiento respecto a nosotros (una de los principios que enuncia la Relatividad Especial, y de ahí su nombre, es que no hay marcos de referencia privilegiados).

Tenemos el tiempo, tenemos la velocidad y de ahí podemos despejar el espacio. Primero, desde nuestro tiempo propio, vamos a medir la distancia que recorre:

Siguiendo el mismo razonamiento, la nave, después de un tiempo «t» medirá una distancia «L»:

Peeero ahora es cuando miramos más arriba, y recordamos lo que hemos dicho del tiempo que miden en la nave está relacionado con el nuestro mediante el factor de Lorentz. Entonces:

Anda, ¿y ese término de velocidad por tiempo propio no es la distancia Lp que nosotros medimos? Qué bien, podemos relacionar «su» distancia con «nuestra» distancia.

Y voilà, he aquí la segunda propiedad extraña. Desde su punto de vista (su marco de referencia), el resto del universo «se contrae». Y aquí he de hacer varias consideraciones, ya que la medición se ha hecho a través de la velocidad, la cual implícitamente incluye una dirección. Esta «contracción de longitudes» se da en la dirección de desplazamiento.

Paradojas y (aparentes) inconsistencias
Si uno ha seguido el artículo y se ha estado imaginando los sucesos, seguramente se haya dado cuenta de algunos detalles que he omitido. Por ejemplo, ¿qué pasa si medimos el tiempo que hay fuera del tren desde el tren? En realidad iría «más lento», porque para nosotros lo que se mueve es el resto del mundo, no nosotros.

¿Cómo es posible esto? ¿No se iría acumulando un desfase temporal incompatible entre los dos marcos de referencia (el tren y el andén)?

En realidad no, realmente no. Aquí he hablado de como el tren se mueve a una velocidad constante respecto al andén (o al revés), no he hablado de cómo el tren ha llegado a esa velocidad. Y es que me tenéis que perdonar por haber olvidado mencionar algunos aspectos de la teoría, como que por ejemplo, la dilatación del tiempo ocurre sólo en sistemas inerciales. Un cuerpo que está siendo acelerado no pertenece a un sistema inercial (de hecho, se está escapando continuamente de uno para meterse en otro de mayor velocidad respecto del anterior), y aquí ya podría decirse que hay «puntos de vista privilegiados».

Bueno, no privilegiados, pero sí que se comportan de manera distinta. Todo esto ha sido debatido y demostrado con la Paradoja de los Gemelos: ¿Por qué apenas envejece el que viaja y el que se queda en Tierra sí? Todo esto viene a cuento de que la nave tiene que «acelerar» y sale del marco de referencia del gemelo en Tierra. Y de aquí salen un par de imponentes integrales que, si bien no es realmente complicadas de resolver, requieren conocimientos de… Cálculo de primero de carrera, si no me equivoco. La integral está resuelta en ese mismo artículo de Wikipedia, de cuyo resultado no estoy muy de acuerdo por cierto (no sé cómo ha pasado de esa raíz a esa otra, de hecho son funciones distintas), pero en fin. Quizá algún día me ponga en ello y la cuelgue paso por paso aquí arriba.

Pero a grandes rasgos es esto. Obviando esos problemas (que, repito, cuando consiga interiorizarlos bien y explicarlos más allá de secas relaciones matemáticas los intentaré colgar), estas son las consecuencias.

¡Fácilmente!

Saludos