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Identidades controvertidas

27 \27UTC agosto \27UTC 2008

Navegando por Internet, uno se encuentra con muchas falacias matemáticas y de todo tipo. Unas son tan obvias que ignoro con cierto pesar, pensando que la gente nunca aprenderá. Otras formulan predicciones catastrofistas (como cuánto se aproximará un cometa a la Tierra o cuándo se acabará el mundo) y otras, sencillamente, engañan al lector dividendo por cero.

Pero esta vez me encontré con algo diferente. La identidad formulaba lo siguiente:

¡Antiphi! ¡El opuesto del número áureo! ¡SATÁN! ¡SATÁN! ¡ANTICRISTO! ¡EL PODER DE CRISTO TE OBLIGA!

Lo primero que pensé fue algo como… ¡Vaya! Parece que al tontopollas de Dan Brown le ha dado por escupir su probada incultura de una forma mucho más directa y fácil de demostrar. De todas formas, no me quise dejar llevar por el estupor inicial, e hice el cálculo con calculadora, a ver si daba.

Y en efecto, me encontré con dos cifras iguales: -1.61803. Pero desconfié: Sólo estaba viendo CINCO decimales. Puede que los infinitos restantes fuesen completamente diferentes y estuviese ante una bonita y muy precisa aproximación de phi. Por eso mismo me puse manos a la obra, a deshacer toda la identidad, a ver si encontraba algo raro.

Antes de empezar, tenemos que recordar lo siguiente: El número phi no es un número racional, y tiene una definición muy concreta, que es la siguiente:

Por eso mismo, si es exactamente igual a menos phi, tengo que llegar a una expresión exactamente igual a esa con un menos delante. Vamos allá:

Lo primero que vemos es que la expresión está en grados sexagesimales (de cero a tres cientos sesenta grados), y que se pasan de los 360º máximos. ¿Se trata de un error? Qué va, también podemos usarlo así. Cuando un ángulo pasa de los 360º es como si empezase desde cero y vuelta a empezar. Dicho de otro modo, estaríamos calculando el resto de dividir entre 360 grados. Y es que es que para todo ángulo se cumple que:

Lo que quiere decir que, si un ángulo nos parece demasiado grande (o pequeño) sólo tenemos que sumarle y restarle 360 hasta que nos quede algo comprensible. Incluso, dicho de una manera más pedante, si el ángulo en grados sexagesimales es entero, el valor del mismo forma una clase de equivalencia en un anillo finito formado sobre el conjunto de restos de módulo 360 (ya que los ángulos de 0º, 360º y 720º son de hecho el mismo ángulo):

Así que tenemos que [666] = [306] = [-54]. Es decir, que 666º describe el mismo ángulo que -54º.

Pero para seguir adelante y hacerlo más fácil, vamos a trabajar mejor en radianes:

Seguimos el mismo razonamiento con 6·6·6 y pasamos también a radianes:

Ahora tenemos una suma de un seno más un coseno en radianes. Pero claro, yo así no tengo nada claro. Vamos a pasar el seno a coseno, ya que sólo tengo que restar pi medios, a ver si vislumbramos algo. Por nada en especial, oiga. Sencillamente, me cae mejor el coseno que el seno:

Si seguimos el mismo razonamiento que hemos tenido con la simplificación del ángulo de 666º, podemos hacerlo con ángulos negativos. Sólo que ahora estamos en radianes, y en vez de sumar o restar con 360, lo tenemos que hacer con dos pi:

¡Anda, la osa! ¡Tenemos el seno de 666º es lo mismo que el coseno de 6·6·6º! Qué interesante. Recapitulando hasta ahora:

Aún podemos seguir simplificando ángulos. Veamos ese denominador. Nos dice que tenemos la circunferencia goniométrica divida en en diez partes iguales (cada ángulo de pi radianes en cinco cachos, o sea, cada semicircunferencia se divide en cinco partes). Esos seis pi quintos se pueden ir reduciendo observado esta nueva circunferencia, teniendo en cuenta que cuando hablamos de cosenos, todo lo que hay a ambos lados del eje horizontal tiene el mismo coseno, y lo que hay a ambos lados del eje vertical tiene el mismo coseno pero con el signo cambiado.

Esto se debe a que el coseno nos dice la coordenada X de un punto de una circunferencia de radio 1 centrada en (0, 0), o sea: En la circunferencia, es insensible a lo que pasa cuando nos movemos en vertical, sólo cambia cuando nos movemos en horizontal.

De esto podemos deducir que seis pi quintos tiene el mismo coseno que cuatro pi quintos, que es lo mismo que el menos coseno (estamos ahora moviéndonos en horizontal) de pi quintos:

Veámoslo gráficamente:

Sin embargo, seguimos sin saber el coseno de pi quintos. ¿Habrá alguna forma de asociar el coseno de fracciones arbitrarias a algo? ¡O incluso el coseno de múltiplos de cinco del ángulo, así sólo tendría que hacer un cambio de variable y pista!

Esta fue la primera dificultad con la que me encontré al intentar resolver este problema. Por suerte (después de preguntar en #matematicas :-P) me topé con este interesante documento, del cual voy a extraer la deducción del coseno de un múltiplo entero de un ángulo cualquiera.

Para ello, recurriremos a la notación exponencial del coseno (la cual se extrae directamente de la identidad de Euler a la que ya dediqué un post), y a partir de ahí iremos haciendo operaciones:

(Esos dos números en vertical entre paréntesis forman lo que se denomina un número combinatorio, y no es más que el factorial del número de arriba entre el producto del factorial del de abajo y del factorial de la diferencia de ambos. Esto se da en Matemática Discreta I)

Ahora llegamos a algo curioso, la unidad imaginaria elevada a algo. Podemos hacer operaciones de nuevo, y transformarlas en exponenciales:

(Ya que tres medios de un ángulo es lo mismo que la mitad del ángulo en negativo)

Si sustituimos ahora, nos damos cuenta de que eso del final no es más que la fórmula del coseno pero con unos coeficientes un poco especiales multiplicando por dentro. Nada grave, es sustituir y fuera:

Bien, ahora vamos a hacer unos cuantos malabares con estos números. Vamos a evaluar la anterior expresión para n=5, es decir, para calcular el coseno de 5x. ¿Por qué hago esto? Porque el coseno de cinco por pi quintos es el coseno de pi, que es menos uno; el cual dejo en función de los cosenos de pi quintos, y que no tendré más que factorizar para conocer su valor:

Joder, pero qué asco de senos. Vamos a pasarle la corporación dermoestética y convertirlos en unos cosenos jugosos y potentes jakajkaj:

Oh, sí, ahora sí que esto es operable. Vamos a proseguir con nuestra estrategia. Sustituyamos equis por pi quintos, y los cosenos por t. Así queda más agradable a la vista y tengo que escribir menos:

Llegaremos así a un elegante polinomio de cinco raíces (dos de ellas múltiples), de las cuales sólo nos valdrá aquella que sea positiva. ¿Por qué? Porque el coseno de pi quintos, ángulo que pertenece al primer cuadrante, ha de ser positivo:

Ahí vemos que -1 no sirve, y como la raíz de cinco es mayor que dos, si se le resta a uno queda negativo, lo que tampoco nos sirve. Y sólo nos queda una. ¿Adivinas cuál?😉

Sólo nos queda operar y…

¡Fácilmente!

Ahora bien, reconozco que es una demostración curiosa. Pero operaciones “mágicas” como estas hay miles. Como pensador matemático me debería parar a pensar en lo bonito que es el proceso para llegar a la solución, y creo que de aquí no se debería pasar.

Claro que es más interesante ser un iluminado conspiranoico, y pensar que en la geometría propia del cosmos se encuentra Dios y las fuerzas del mal.

¡SATÁN! ¡EL ANTICRISTO! ¡ES EL DESPERTAR DE AKIRA! ¡PREPAREN SUS CORASSSSONES!

PD: El número de la bestia es el 616, no el 666. Otro de los errores de traducción bíblicos como los del “camello por la aguja” que con el tiempo pasan a la cultura popular.

Tsk.

Saludos

5 comentarios

  1. lo del camello por el agujero de una aguja es falso? bueno, de todos modos es una metafora, que mas da. y las mierdas estas del 666 no son matematicas, sino de anormales supersticiosos sudakas, que si, es verdad, se cagan de la rabia cuando les desmontas su mundo con tus enseñanzas gallegas, pero así no aprendes. tu seguro k vas a un rio y disfrutas mesurando la temperatura del agua y la presion del caudal, en vez de hacerlo bañandote.

    saludos


  2. Aprende mates con Batchdrake ^^

    Me he leído la demostración entera… O tengo un problema o lo haces especialmente interesante. Es que a mí en realidad las matemáticas me gustaban, aunque obviamente haya acabado siendo un ignorante.

    Salud


  3. Con lo que me quedo yo pensando es como se le ocurrio esto al tio…
    Vamos, que una vez tienes escrito eso y lo demuestras vale, pero haber dado con una fricada asi de primeras manda webos en lo que hay que buscar y rebuscar!


  4. Hola!no lo encuentro por ningun lado… y veo que controlas las matematicas.
    Me sabrias decir de en que cuadrante se encuetra cada uno de los ejes??
    me refiero a el:
    OX, OY, -XO y el -YO.
    Muchisimas gracias y un saludo!


  5. Lo mas interesante es que si teneis ganas de dibujar phi ya teneis una forma. Usar 2 x cos (pi/5) y ya teneis phi sobre el papel. (phi si el radio es uno o phi x r si quereis expresarlo en funcion del radio)

    Otra forma es poner dos pentagonos de forma que creen un decaedro regular. Coge cualquier vertice y avanza tres mas. La recta que los une tambien es phi.

    Por Euclides !

    Pd: Cortare las pelotas de cuajo a cualquier seudogeometra no euclidiano. Politicamente hablando.



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