h1

La paradoja de Zenón

28 \28UTC julio \28UTC 2008

Antes de empezar primero de bachiller, allá por el 2005, mi padre me estaba hablando de paradojas, problemas lógicos y estupideces filosóficas afines. Muchas de ellas no me parecían tales, sobre todo una (conocida como la paradoja de la piedra lanzada contra un árbol de Zenón), que viene a decir algo como:

Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que le separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro… De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.


Cuando mi padre me lo contó, me pareció una tontería. Está claro que la piedra tardará un tiempo T en recorrer la mitad, y un tiempo T/2 en recorrer el cuarto, y un tiempo T/4 en recorrer un octavo… es decir, que en relación con la parte que está recorriendo, debería ir cada vez más rápido (aunque la velocidad la supusiésemos constante y el viaje de la piedra siguiese un movimiento uniforme y rectilíneo).

Yo de alguna manera intuía que se trataba de una suma que nunca acababa (una suma “infinita”), una lista interminable de fracciones sumadas que seguramente diese un resultado concreto y medible (que “converge”). Sin embargo, no disponía de la base matemática que me permitiese demostrarlo en serio.

El otro día mientras me duchaba me dio por intentarlo, y comencé a calcular con el dedo en el espejo empañado del cuarto de baño. En Wikipedia hay una demostración más escueta (utilizando una propiedad muy sencilla de las series geométricas), pero como esto es mi blog y escribo pocos posts al mes, voy a intentar hacerlo de la forma más larga y explicativa posible.

Antes que nada, hemos de partir de la idea de que la piedra recorre la mitad del trayecto en la mitad de un tiempo t (t/2), luego la mitad de la mitad en un cuarto de tiempo, la mitad de la mitad de la mitad en un octavo de tiempo… se producirá una suma infinita de fracciones de tiempo. La pregunta es… ¿es esta suma de fracciones de tiempo infinita? ¿Tardará la piedra un tiempo infinito en recorrer la distancia? Experimentalmente sabemos que no, pero, ¿es el planteamiento matemático correcto? De no serlo, el planteamiento de Zenón no sería correcto y por lo tanto su deducción no nos diría nada. Y de serlo, entonces deberíamos llegar a “algo”. Vamos a ver ese “algo”.

Como dije antes, él plantea que recorre infinitas fracciones de espacio que se materializan en infinitas fracciones de tiempo. El tiempo total en recorrerlo todo será una suma del tipo:

O expresado de otra forma:

Es decir, es una suma de fracciones en la cual los denominadores no son más que potencias de dos, que van creciendo de uno en uno. Esto también se puede expresar de una manera más compacta y elegante, con un sumatorio:

Donde vemos dos incógnitas. t es una constante, y n es lo que se conoce como el “índice del sumatorio”, y no es más que un valor que se va incrementando de uno en uno en cada término de la suma.

El sumatorio cumple unas propiedades (por ejemplo, las constantes que multiplican dentro salen multiplicando fuera), lo que nos permite expresarlo como:

(He dejado la fracción como un exponente negativo, que queda más chulo)

Pero ahora dejemos un poco las notaciones a un lado. Eso es una suma que va a hasta el infinito, y por tanto no podemos desarrollarla. Podemos aproximarla, vale. Pero eso es un método mazo de cabestro, y es más ilustrativo seguir un método alternativo. Algo más analítico. Pensemos un poco: ¿Podemos sacar un término general de esto?

Yo, os seré sincero, pero los únicos sumatorios que me conozco son los de las potencias empezando en cero y en uno, así que vamos a tener que pensar un poco más. De momento sé que:

Extraido de las propiedades del sumatorio de Wikipedia

Muy bien, ahora desarrollemos lo que teníamos antes:

Como podréis observar, me ha salido un sumatorio de potencias positivas empezando en cero, lo cual ya sé desarrollar. Gracias a eso, ya tengo el término general. Ahora, tan sólo tengo que calcular un límite (cuando x tiende a infinito, cuando la serie se hace interminable) y sabré si de verdad llegaré a un tiempo infinito, como pensaba Zenón:

Vaya, vaya. Tarda un tiempo t. Es decir, dos veces lo que tarda en recorrer la mitad del recorrido. No hay nada de raro en esto, sólo que Zenón pensaba que una suma infinita de tiempos tiene que dar por narices un tiempo infinito. El problema es que cuando empezamos a sumar tiempos infinitesimales (como es el caso para valores muy grandes de “n”) nuestra intuición natural empieza a fallar.

Ains… benditas matemáticas…

Saludos

3 comentarios

  1. No se por que lo he leído… pero lo he hecho y ahora veo sumatorios allí a donde mire


  2. Atrapao


  3. Sos un capo! Me voy a tatuar esa formula, de hecho! Kiero conocer mas de este blog!



Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: