El área del Triángulo de Sierpinski

Y volvemos al tema de siempre: fractales. Oh, sí, fractales. ¿Por qué no me cansaré nunca de este tema? Ah, ya lo recuerdo, porque siempre hay alguna extraña propiedad de la que puedo hablar con alguien y maravillarme de lo bonitas que son las matemáticas.

Pues hoy, señoras y señores, voy a meterme con el famoso triángulo de Sierpinski. ¡Quién no conoce este bonito triángulo! Es uno de los fractales más típicos, usados sobre todo para ilustrar las propiedades comunes a todos ellos. Dimensión fraccionaria, autosemejanza, tal y pascual.

El fractal de Sierpinski se puede construir tomando un triángulo cualquiera, eliminando el triángulo central uniendo los puntos medios de cada lado, y repitiendo hasta el infinito el proceso en los tres triángulos restantes como el primero:

¿Qué tiene de especial esto? Que el área de este triángulo es cero. Es decir, es un objeto matemático sin superficie alguna (de hecho, ni siquiera tiene suficientes dimensiones como para poder alojar una superficie, pero eso ya es otra historia). Y esta extraña propiedad es lo que pretendo explicar en esta entrada.

Bien, vamos allá. Para medir la superficie de este objeto, tenemos que ir construyéndolo poco a poco. Vamos a ver cuánto mide cuando quitamos el triángulo central, cuando quitamos el central de los otros, etcétera, etcétera. Más que nada, por si encontramos algún patrón general que nos permita calcular la superficie con cualquier número de iteraciones.

Primer paso:

Para hacerlo más simple, vamos a contar triángulos y cuánto ocupan. Suponiendo que eso sean tres triángulos equiláteros de lado “l”, podremos derivar rápidamente el área de los mismos. Como todos sabemos, el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. Y en un triángulo equilátero tiene la siguiente altura:

Entonces, el área del triángulo sólo depende de su lado. Así pues:

En nuestro caso, tenemos tres triángulos de lado “l”. Entonces la expresión se nos transforma en lo siguiente:

Hasta ahí bien. Pasemos a la siguiente iteración, cortando los triángulos de los extremos. En este caso, el lado de nuestros triángulos se reduce a la mitad (como hemos dicho antes, en este fractal vamos partiendo por el punto medio), sin embargo, el número de ellos se multiplicará por tres respecto al paso anterior (ya que al quitar uno del centro aparecen tres más):

Teniendo en cuenta lo de que el lado se reduce a la mitad y que el número de triángulos se triplica, superficie en este instante me da esto (la dejo indicada para ver lo que va cambiando en la expresión más fácilmente):

¿No vemos por dónde van los tiros todavía? Démosle una vuelta más, tercera iteración:

De nuevo, el lado será la mitad de la vez anterior (la mitad de la mitad, entonces) y el número de triángulos se habrá vuelto a multiplicar por tres:

Ahora sí, ¿verdad? Vemos un par de exponentes que se van incrementando en cada iteración. Uno de ellos de uno en uno, y el otro de dos en dos. Entonces ahora podemos definir una función superficie de Sierpinski, que nos permita calcular el área del triángulo según el número de iteraciones aplicadas. Así es como llegamos a esta expresión, donde “n” es el número de iteraciones y “l” es el lado del triángulo:

Ahora sí que me permito reunir factores, para tener una expresión más compacta.

Bien, lo maravilloso de esto es que ya podemos jugar para calcular la superficie. Como en teoría, el triángulo de Sierpinski tiene infinitas iteraciones, tendremos infinitas divisiones, blablabla y no nos queda más remedio que echar mano de nuestros queridos límites. ¿Qué le ocurre a nuestra función de superficie cuando las iteraciones parecen no acabar (cuando “n” tiende a infinito)? Veamos:

Quieeeeto parao. Tenemos dos funciones exponenciales dividiendo. Para saber qué pasa aquí, tenemos que averiguar cuál de las dos “crece” más rápido. Si resulta ser la de arriba, el triángulo de Sierpinski tendría una superficie infinita (cosa que sabemos que es imposible porque hemos estado quitando cosas). Sin embargo, si es la de abajo la que supera a la de arriba, entonces habrá un momento en el que el divisor será tan grande que apenas será apreciable, y nuestro triángulo no ocupará superficie alguna. Sigamos adelante, pues.

Ahora el problema es este. A ojo no podemos saber cuál de las dos crece más. Para ello tendremos que hacer que nuestras dos exponenciales compartan la misma base y comparar los exponentes. Esta expresión puede transformarse dejando todo en base “e” (pues porque me gusta, pero podría ser cualquier otra) y dejando los exponentes encerrados en sendos logaritmos neperianos:

Logaritmos que quedan multiplicando a “n” en las dos expresiones, sólo tenemos que compararlos y saldremos de esta incertidumbre vital. Esta parte… bueno, hay que hacerla por calculadora porque no me sé el logaritmo neperiano ni de dos ni de tres, pero vamos, sin problema. Para eso ya están las calculadoras:

¡El logaritmo que multiplica a la “n” del denominador es mayor que el del numerador! Entonces, eso quiere decir ni más ni menos que:

O sea, nuestro triángulo no tiene superficie. Es más bien una nube de puntos inconexos formando un extraño patrón de triángulos. Para quien lo quiera saber, la dimensión real de esta figura es ln (3) / ln (2) -no tengo ganas de explicar ahora el por qué, he escrito este post mientras me comía un platito de esos de la Gula del Norte- pero como ya mencioné antes, decir que ese número (que es poco superior a uno) no es suficiente para alojar figuras planas.

Que los fractales son muy chupis y que no me canso de hablar sobre ellos. Mientras haya fractales en el mundo de las matemáticas, habrá entradas dedicados a ellos en este blog.

Bueno, pero si me canso ya no.

Anexo: Demostración de la validez de la expresión de la superficie
Ante la queja de drjackZon y puesto que a mis ojos esa derivación de la expresión del área en cada iteración es demasiado… “intuitiva”, he decidido demostrarla por inducción simple. Para ello tenemos que tener en cuenta que en cada iteración, quitamos el triángulo central de los que quedan, y la superficie se queda reducida a tres cuartos de la anterior (esto no queda más remedio que deducirlo analizando el comportamiento de este triángulo en cada paso, lo siento xD). Para hacer inducción tenemos que comprobar el caso base y el paso inductivo:

Lo primero lo hemos demostrado ya arriba (de hecho, hemos calculado el área en el primer paso para ver cómo iba variando la cosa). Lo siguiente no es más que operar:

Ese 3/4 de la derecha puede dejarse expresado como 3/2² (más que nada, para operar con potencias de la misma base). Entonces:

Agrupamos factores y:

Voilà, inducción demostrada, nuestra expresión general queda igualmente demostrada. Esto ya es un poco coñazo, pero al menos calmo a ciertas mentes inquietas.

PD: Desde el año pasado no he hecho un sólo ejercicio de inducción, y mirad que me costaban. Si veis que me falta algo que no es evidente o que he supuesto demasiadas cosas… ya sabéis, los comentarios están ahí abajo xD