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La identidad de Euler

28 \28UTC julio \28UTC 2008

Una de las cosas que más me fascinan de las matemáticas son esas extrañas y oscuras relaciones entre sus elementos. Cosas cuyos resultados no te esperas ni de lejos. Una serie de cosas que dices tú “hay que ser un puto crack para encontrar el resultado de esto”. Parece mentira, pero todo está interrelacionado de tal manera que hasta asusta.

Una de estas cosas que tanto me sorprende es la identidad de Euler. Es una expresión (verdadera, claro está) en la que se relacionan varios de los números más importantes de las matemáticas. Aparece la constante e, la unidad imaginaria i (es decir, la raíz cuadrada de menos uno), el número pi, el uno y el cero. De hecho, dice así:

Pero… ¿cómo es posible? ¿Cómo es posible que una exponencial tome valores negativos? ¿Y por qué da exactamente -1 si lo elevas a pi unidades imaginarias? De esto es de lo que he hablado antes, estas relaciones extrañas en las que intervienen constantes sin aparentemente nada que ver.

Pues bien, para poder demostrar esto hace falta tener mates hasta… mmh… primero de bachiller. Necesitaremos derivar, saber un poco (casi nada) de números complejos y conocer el seno y el coseno de cero.

Antes de seguir, he de introducir algunos conceptos que en primero de bachiller no se dan. Uno es el de la serie de Taylor, la cual nos permite expresar una función cualquiera como un polinomio.

Este polinomio tiene algo de especial. Es, en algunos casos, un polinomio de grado infinito (los términos no terminan), y los coeficientes de cada término dependen de la derivada de la función alrededor de un punto cualquiera que nosotros elegimos.

Lo que estamos haciendo en realidad con esto es construir una función que tenga el mismo valor, la misma derivada primera, la misma derivada segunda, la misma derivada tercera, así hasta la enésima derivada en ese punto. Claro, parece que si llevamos todo esto hasta el infinito, al final e ese polinomio no le quedan más narices que ser igual que la función. Por eso se usa mucho en aproximaciones.

La serie de Taylor se define, pues, como:

Donde ese “f elevado a n” se refiere a la “enésima derivada de la función”. Si n es cero se pone la función tal cual es, si es uno derivamos la función, si es dos derivamos la derivada de la función, etcétera.

Cuando algo queda seguido de un signo de exclamación se denomina factorial de ese algo. Y no es más que multiplicar todos los números naturales que hay entre el uno y ese mismo número. Por ejemplo, el factorial de cinco (5!) sería 1·2·3·4·5 = 120

El valor “a” tiene que ver más con el uso de la serie de Taylor como aproximación que como descomposición en forma de polinomio. En nuestro caso la vamos a usar para transformar una función en un polinomio, así que vamos a simplificar las cosas. Si ese valor de “a” es cero, la expresión se denomina Serie de McLaurin que es mucho más sencilla y es la que usaremos en esta demostración:

A modo ilustrativo, vamos a calcular las series de McLaurin de la función seno y coseno. Como bien sabemos (o deberíamos saber) la derivada del seno es el coseno, y la del coseno es el menos seno; el seno de cero es cero y el coseno de cero es uno. La serie se nos transformarán en algo poco más complicado que una suma de fracciones:

Expresión que podríamos simplificar. Sabemos que eso, el seno de cero es cero y el coseno de cero es uno. Además, si nos damos cuenta, estamos derivando siempre lo mismo, se va repitiendo (seno, coseno, -seno, -coseno, seno, coseno…). Entonces podemos aplicar un poco la lógica y deducir una expresión concreta para esta descomposición:

Aplicando el mismo método, podemos encontrar la serie de McLaurin para el coseno:

Sabiendo esto, vamos a meterle mano a la identidad de Euler. Primero, veamos como podemos descomponer ese “e elevado a x”.

Esta es tan sencilla como las anteriores, pues la derivada de la exponencial es la propia exponencial, y la exponencial de cero es uno, entonces:

Teniendo en cuenta esto, hagámonos esta pregunta… ¿qué pasa si calculo la exponencial de un número imaginario?, pues para eso tendremos que recurrir a ese polinomio interminable, y como hemos hecho con el seno, fijarnos un poco a ver si encontramos alguna regularidad. Sustituiremos los cuadrados de i por menos uno, y así, a ver qué vemos:

Vaya, vaya. Dos veces positivo, dos veces negativo. Y vemos que mientras un término es real, el otro es imaginario y viceversa. ¿No lo tenemos muy claro? Vamos a sacar factor común a i, a ver qué sale:

¿No encontramos algo sospechosamente familiar? Vamos a expresarlo como un par de sumatorios:

¡Pero si son los sumatorios del seno y el coseno que calculamos antes! Entonces, llegamos a esta sorprendente conclusión:

Ahora, si sustituimos por pi, y nos queda:

¡Fácilmente!

Si es que el mundo de las demostraciones es apasionante. Es casi como un sudoku gigante.

Saludos

3 comentarios

  1. Interesante post. Felicitaciones por el blog.


  2. [...] notación exponencial del coseno (la cual se extrae directamente de la identidad de Euler a la que ya le dediqué un post), y a partir de ahí iremos haciendo [...]


  3. ay un error en la serie de McLaurin del coseno es x^4 no a la 3.(solo pares) buen post



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